当我们进行光谱拟合的时候，有时候需要在拟合成分中加入光谱模板，如 BC03 的宿主星系光谱模板，或 Boroson & Green(1992) 的 \({\rm Fe~II}\) 模板。
这些模板本身就是一条光谱，在进行光谱拟合时需要对这些模板进行一些变换，使之更加匹配我们要拟合的目标光谱。比如我们需要对原始的模板进行展宽，添加水平方向的移动，乘以统一的流量系数等。这里我们只讨论对原始的模板进行展宽。
原始的模板一般展宽较小，但是目标光谱的展宽一般会比较大。如\({\rm Fe~II}\) 发射线的展宽可能会有数千公里，宿主星系由于恒星的速度弥散，一般也会有数百公里的展宽等。观测设备本身分辨率不足也会带来仪器展宽。我们一般无法得到展宽函数的精确形式，在拟合中一般使用高斯函数来作为展宽函数。高斯函数的半高全宽即为对应的特征展宽，即展宽 \({\rm FWHM} = 2.355\sigma\)。但是在对原始的波长进行展宽时，我们一般定义的是速度展宽，如假设整条光谱的速度展宽都是 500 km/s。对于一条光谱来说，相同的速度展宽在不同波长处对应到波长上的移动是不同的。由多普勒移动可以轻易的知道速度移动对应到波长上的移动满足 $$V = \frac{c\,d\lambda}{\lambda},\quad\quad\quad (1)$$因此相同的速度展宽\(V\)对应到不同的波长\(\lambda\)，相应的波长展宽\(d\lambda\)是不同的。
因此在对原始的模板谱进行展宽时，使用的公式应该是$$F(\lambda) = \int f(\lambda – \Delta\lambda) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma (\lambda – \Delta \lambda)} e^{\frac{-{\Delta\lambda}^2}{2\sigma^2 (\lambda – \Delta\lambda)^2}} d \Delta\lambda\quad\quad\quad (2)$$，而不是简单的不同波长处相同的展宽函数。上式的含义是，原始的光谱经过展宽后，某一个固定波长\(\lambda\)处的流量来自于周围很宽一段波长\((\lambda-\Delta\lambda)\)范围流量的“混合”，距离波长\(\lambda\)越近的地方的贡献越大（\(\Delta\lambda\)即混合时其他波长同\(\lambda\)的距离）。进行混合时，来自\((\lambda-\Delta\lambda)\)波长处流量贡献的权重由 \(e^{\frac{-{\Delta\lambda}^2}{2\sigma^2 (\lambda – \Delta\lambda)^2}}\) 来进行控制，该部分即波长为\((\lambda-\Delta\lambda)\)处的展宽函数。该展宽函数跟波长相关，展宽不是固定值，而是波长越长展宽越宽。\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma (\lambda – \Delta \lambda)}\)是展宽函数的归一化因子。
这样，由于存在波长依赖，我们就不能使用一个简单的卷积核来对整条光谱进行卷积展宽。似乎只能使用循环来对整条光谱进行展宽操作。之前想过根据卷积定理使用傅里叶变换来处理展宽。但是比较公式发现，上边的公式(2)并不能算一个严格的卷积操作。数学上定义的卷积是$$f_1(t)*f_2(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau) f_2(t – \tau ) d\tau \quad\quad\quad (3)$$. 而前文中的展宽公式(2)并不能满足上式中的分解要求。这样就无法在类似于Python的脚本语言中直接调用现成的卷积函数或者傅里叶变换函数来进行处理。我们都知道Python的循环慢到难以忍受。如果无法调用第三方的卷积函数，这里通过循环来实现，速度会慢到让人不能忍。也许只能通过C语言写一个额外的函数来让Python调用。如果通过C语言来进行处理的话，能想到的一个优化是，因为高斯函数从卷积中心往外，权重很快会降低到接近0，在每次循环中我们只需要生成一小段的展宽函数。
今天刚注意到Hu et al.(2008) 文章中有讲可以在对数波长空间中进行高斯卷积来进行展宽。我尝试进行了一下理解，发现我们如果不是严格要求这种方法在数学上是正确的话，这样做也是可以的。首先需要引入的是前文中的公式$$V = \frac{c\,\Delta\lambda}{\lambda} =? c\,\Delta\ln\lambda,\quad\quad\quad (4)$$ 这个式子的成立多少有一些勉强，因为\(V\)在这里并不是一个小量，相应的\(\Delta\lambda\)也不是小量，在给定波长\(\lambda\)处，速度\(V\)和波长移动\(\Delta\lambda\)是线性的关系，也许写成\(V = \frac{c\,\lambda_s}{\lambda}\)可能更合适。或者也可以说是上式总结的有问题，如果我们考虑某固定波长\(\lambda\)处速度增加量和对应的波长移动，倒是可以完全满足\(dV = c\,d\ln\lambda\) 的关系。在速度空间中，某一个固定波长处的展宽函数的形式可以写作$$dis(V) dV = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{\frac{-V^2}{2 \sigma^2}} dV,\quad\quad\quad (5)$$该式是速度空间中的展宽函数，式中完全没有出现波长的符号，与波长无关。但是在实际处理中，我们需要将上式转换到波长空间中才能真正进行计算。通过简单的转换会有$$dis(V) dV = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(c\,\Delta\ln\lambda)^2}{2\sigma^2}} d\,c \ln\lambda\quad\quad\quad (6)$$如果我们以\(\ln\lambda\)为横坐标的话，就会得到一个非常简单的展宽函数形式。但(6)式的推导过程是非常让人奇怪的，从\(dV = c\,d\ln\lambda\)推导得到\(V = c\,\ln\lambda\)让人有点蒙圈。这里的\(\ln\lambda\)当然是波长在原来基础上的移动。但是某一个固定波长处移动跟\(V\)之间的关系是线性的，不同波长会乘以不同的\(\frac{1}{\lambda}\)系数，\(V = c\,\ln\lambda\)可以说是该关系的一阶近似，假设成立也是可以的。总之在对数波长中对光谱进行展宽可以看做是近似成立的。
我们对(6)式进行展开，也可以得到类似(2)式的形式
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma \lambda}e^{\frac{-(c\,\Delta\lambda)^2}{2\sigma^2 \lambda^2}} c\,d\lambda\quad\quad\quad (7)$$
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